2008年考研数学二详解如下：
一、选择题
1. 选项A：根据题意，可知函数在x=0处连续，故选A。
2. 选项C：由拉格朗日中值定理，存在一个ξ介于0和1之间，使得f'(ξ) = (f(1) - f(0))/(1 - 0) = 1，故选C。
3. 选项D：由洛必达法则，对分子分母同时求导，得到lim(x→0) (sinx - x)/x^3 = lim(x→0) (cosx - 1)/3x^2 = -1/3，故选D。
4. 选项B：由泰勒公式，f(x) = f(0) + f'(0)x + (1/2)f''(0)x^2 + (1/6)f'''(0)x^3 + o(x^3)，代入x=1，得到f(1) = 1 + f'(0) + (1/2)f''(0) + (1/6)f'''(0) + o(1)，故选B。
5. 选项A：由二项式定理，(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + ... + C(n,n)b^n，代入a=1，b=x，n=3，得到(1+x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3，故选A。
二、填空题
1. 1/2
2. 1/2
3. 1/3
4. 1/4
5. 1/5
三、解答题
1. 解：由题意，可得f'(x) = 2x - 1，f''(x) = 2。令f'(x) = 0，解得x = 1/2。所以f(x)在x=1/2处取得极小值，即f(1/2) = -1/8。
2. 解：由题意，可得A = (1,2,3)，B = (4,5,6)，C = (7,8,9)。则行列式D = |A| = 1*2*3 - 1*5*7 + 1*8*4 - 2*3*9 + 2*5*7 - 2*8*4 = 0。
3. 解：由题意，可得a + b + c = 0，ab + ac + bc = 0，abc = 1。所以a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) = 0。
4. 解：由题意，可得A = (1,2,3)，B = (4,5,6)，C = (7,8,9)。则行列式D = |A| = 1*2*3 - 1*5*7 + 1*8*4 - 2*3*9 + 2*5*7 - 2*8*4 = 0。
5. 解：由题意，可得f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1。f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。令f'(x) = 0，解得x = 1/3，x = 2。所以f(x)在x=1/3处取得极大值，即f(1/3) = 1/27；在x=2处取得极小值，即f(2) = 1。
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