2022年考研数学一第20题，题目如下：
设函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x \)，若函数 \( f(x) \) 在区间 \([1,2]\) 上存在一点 \( \xi \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)，则 \( \xi \) 的取值范围是：
A. \([1,1.5]\)
B. \([1.5,2]\)
C. \((1,1.5)\)
D. \((1.5,2)\)
解答过程如下：
首先，我们需要求出函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。根据导数的定义和求导法则，我们得到：
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \]
接下来，我们需要找到函数 \( f(x) \) 在区间 \([1,2]\) 上的极值点，即 \( f'(x) = 0 \) 的解。将 \( f'(x) \) 置为0，解得：
\[ 3x^2 - 6x + 4 = 0 \]
使用求根公式求解上述二次方程，我们得到：
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3} \]
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48}}{6} \]
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{-12}}{6} \]
由于方程没有实数解，说明在区间 \([1,2]\) 上 \( f'(x) \) 不可能为0。但是，题目要求我们找到使得 \( f'(\xi) = 0 \) 的点 \( \xi \)，由于没有实数解，我们可以推断 \( \xi \) 是一个复数。
因此，正确答案是：无法确定（在实数范围内无解）。
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