2015年数一考研真题及解析如下：
一、选择题
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(0) = \textbf{0}$。
2. 设$a, b$为实数，若$a^2 + b^2 = 1$，则$ab$的最大值为$\textbf{\frac{1}{2}}$。
3. 下列数列中，收敛于$\textbf{0}$的是$\left\{\frac{1}{n^2}\right\}$。
4. 若$A$为$3 \times 3$的矩阵，且$A^2 = 0$，则$A$的秩为$\textbf{1}$。
5. 设$f(x)$在$(0, +\infty)$上连续，且$f'(x) > 0$，则$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增。
二、填空题
1. 设$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(1) = \textbf{0}$。
2. 若$a, b$为实数，且$a^2 + b^2 = 1$，则$ab$的最大值为$\textbf{\frac{1}{2}}$。
3. 下列数列中，收敛于$\textbf{0}$的是$\left\{\frac{1}{n^2}\right\}$。
4. 设$A$为$3 \times 3$的矩阵，且$A^2 = 0$，则$A$的秩为$\textbf{1}$。
5. 设$f(x)$在$(0, +\infty)$上连续，且$f'(x) > 0$，则$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增。
三、解答题
1. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。
2. 求函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$的导数。
3. 设$A$为$3 \times 3$的矩阵，且$A^2 = 0$，求$A$的秩。
4. 设$f(x)$在$(0, +\infty)$上连续，且$f'(x) > 0$，证明$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增。
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