2021年考研数学一卷真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，可导且导数恒不为零的是（ ）
A. \( f(x) = x^3 \)
B. \( f(x) = |x| \)
C. \( f(x) = \sqrt{x} \)
D. \( f(x) = e^x \)
【答案】A
2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - \sin x}{x^2} = \frac{1}{2} \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2x}{x^2} \) 的值为（ ）
A. 0
B. \(\frac{1}{2}\)
C. 1
D. 2
【答案】C
3. 已知 \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx = \frac{\pi}{4} \)，则 \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx \) 的值为（ ）
A. \(\frac{\pi}{4}\)
B. \(\frac{\pi}{2}\)
C. 1
D. 2
【答案】B
二、填空题
4. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \frac{1}{3} \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x - 3x}{x^3} \) 的值为 _______。
【答案】3
5. 设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则 \( A^{-1} \) 的行列式值为 _______。
【答案】-2
三、解答题
6. 计算下列极限：
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - \sin x}{3x - x} \)
【答案】3
7. 设 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，求 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程。
【答案】\( y = -x + 2 \)
8. 已知 \( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
【答案】特征值为 -2, 0，对应的特征向量为 \( \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} \) 和 \( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)
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