在这次考研竞赛数学初赛中，选手们展现出了卓越的数学素养和解题技巧。以下是部分答案的解析：
1. 解析几何题：通过构造辅助线，将复杂图形转化为标准图形，利用圆的性质求解。
2. 高等代数题：运用矩阵的初等变换，将矩阵化为行最简形式，进而求解线性方程组。
3. 微积分题：利用定积分的分部积分法，巧妙地简化积分式，得到最终答案。
4. 线性规划题：通过构建线性规划模型，运用单纯形法求解最优解。
5. 概率论题：利用全概率公式和贝叶斯公式，计算出事件的概率。
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