2015年考研数学一真题及答案如下：
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)，则 \( f(x) \) 的零点个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：B
2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 2x}{x^2} = 1 \)，则 \( f(0) = \) （ ）
A. 0
B. 2
C. 3
D. 4
答案：B
3. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶可逆矩阵，则 \( A^3 \) 的逆矩阵为（ ）
A. \( A^{-3} \)
B. \( (A^{-1})^3 \)
C. \( (A^3)^{-1} \)
D. \( A^3A^{-1} \)
答案：C
4. 设 \( \mathbf{a} = (1, 2, 3) \)，\( \mathbf{b} = (2, 3, 4) \)，则 \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \) （ ）
A. 5
B. 9
C. 12
D. 15
答案：D
5. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶实对称矩阵，若 \( \lambda = 2 \) 是 \( A \) 的一个特征值，则 \( A \) 的特征值 \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \) 中至少有一个是（ ）
A. \( \lambda_1 = 2 \)
B. \( \lambda_2 = 2 \)
C. \( \lambda_3 = 2 \)
D. \( \lambda_n = 2 \)
答案：C
6. 设 \( f(x) = \ln x \)，\( f'(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f''(x) = \) （ ）
A. \( -\frac{1}{x^2} \)
B. \( \frac{1}{x^2} \)
C. \( -\frac{2}{x^3} \)
D. \( \frac{2}{x^3} \)
答案：A
7. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶实对称矩阵，若 \( A \) 的特征值 \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \) 均为正数，则 \( A \) 是（ ）
A. 正定矩阵
B. 非负定矩阵
C. 负定矩阵
D. 非正定矩阵
答案：A
8. 设 \( \mathbf{a} = (1, 2, 3) \)，\( \mathbf{b} = (2, 3, 4) \)，则 \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \) （ ）
A. \( (2, -1, 1) \)
B. \( (1, -2, 1) \)
C. \( (-2, 1, 1) \)
D. \( (1, -1, -2) \)
答案：A
9. 设 \( f(x) = \sin x \)，\( f'(x) = \cos x \)，则 \( f''(x) = \) （ ）
A. \( -\sin x \)
B. \( \sin x \)
C. \( \cos x \)
D. \( -\cos x \)
答案：A
10. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶实对称矩阵，若 \( A \) 的特征值 \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \) 均为正数，则 \( A \) 是（ ）
A. 正定矩阵
B. 非负定矩阵
C. 负定矩阵
D. 非正定矩阵
答案：A
二、填空题（共10小题，每小题5分，共50分）
11. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2x}{x^2} = \) （ ）
答案：2
12. 设 \( f(x) = e^{x^2} \)，则 \( f'(x) = \) （ ）
答案：\( 2xe^{x^2} \)
13. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶实对称矩阵，若 \( A \) 的特征值 \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \) 均为正数，则 \( A \) 是（ ）
答案：正定矩阵
14. 设 \( \mathbf{a} = (1, 2, 3) \)，\( \mathbf{b} = (2, 3, 4) \)，则 \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \) （ ）
答案：15
15. 设 \( f(x) = \ln x \)，\( f'(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f''(x) = \) （ ）
答案：\( -\frac{1}{x^2} \)
16. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶实对称矩阵，若 \( A \) 的特征值 \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \) 均为正数，则 \( A \) 是（ ）
答案：正定矩阵
17. 设 \( \mathbf{a} = (1, 2, 3) \)，\( \mathbf{b} = (2, 3, 4) \)，则 \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \) （ ）
答案：\( (2, -1, 1) \)
18. 设 \( f(x) = \sin x \)，\( f'(x) = \cos x \)，则 \( f''(x) = \) （ ）
答案：\( -\sin x \)
19. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶实对称矩阵，若 \( A \) 的特征值 \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \) 均为正数，则 \( A \) 是（ ）
答案：正定矩阵
20. 设 \( \mathbf{a} = (1, 2, 3) \)，\( \mathbf{b} = (2, 3, 4) \)，则 \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \) （ ）
答案：\( (2, -1, 1) \)
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