在考研数学竞赛中，一道极具挑战性的题目如下：
题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + a \)，其中 \( a \) 为常数。已知 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得极值，且 \( f(0) = 3 \)。求 \( a \) 的值，并证明 \( f(x) \) 在区间 \( (0, +\infty) \) 上单调递增。
解答：
首先，根据 \( f(0) = 3 \)，代入 \( x = 0 \) 得 \( a = 3 \)。
接下来，求 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
由于 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得极值，故 \( f'(1) = 0 \)。将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得：
\[ 3(1)^2 - 12(1) + 9 = 0 \]
因此，\( f'(x) = 3(x - 1)^2 \)。由于平方项总是非负的，故 \( f'(x) \geq 0 \)。
当 \( x > 1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，说明 \( f(x) \) 在 \( (1, +\infty) \) 上单调递增。
当 \( 0 < x < 1 \) 时，\( f'(x) \geq 0 \)，说明 \( f(x) \) 在 \( (0, 1) \) 上单调递增。
综上所述，\( f(x) \) 在区间 \( (0, +\infty) \) 上单调递增。
【考研刷题通】——您的考研刷题小助手！涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助您轻松备战考研！快来加入我们，开启高效刷题之旅吧！微信小程序搜索：【考研刷题通】，与千万考研学子一起，共同迈向成功！