张宇考研数学18讲核心考点深度解析与疑难突破

在考研数学的备考征途上，张宇老师的《18讲》无疑是一盏明灯，它以独特的教学风格和精炼的知识体系，帮助无数考生攻克难关。然而，面对厚重的讲义和复杂的考点，许多同学仍会遇到各种困惑。本栏目精选了18讲中的常见疑难问题，结合张宇老师的解题思路，进行深入浅出的剖析，旨在帮助考生扫清障碍，全面提升数学能力。无论是极限计算的技巧，还是多元微积分的难点，这里都能找到针对性的解答。

问题一：如何高效掌握《18讲》中的极限计算方法？

极限是考研数学的基础，也是许多考生的痛点。张宇老师在《18讲》中强调，极限计算的核心在于“化繁为简”和“分类讨论”。要熟练掌握基本极限公式，如lim (sin x / x) = 1 (x→0)和lim (1 + x)α = eα (x→0)，这些是后续复杂计算的基础。要灵活运用等价无穷小替换，比如sin x ≈ x, 1 cos x ≈ x2/2等，可以大大简化计算过程。但要注意，替换的前提是同阶无穷小，不能随意替换。洛必达法则也是极限计算的重要工具，但使用前必须验证是否满足“未定型”条件。张宇老师还特别提醒，有些极限看似需要洛必达，实则可以通过泰勒展开或倒代换等更简便的方法解决。以lim (x→0) (ex cos x) / x2为例，若直接用洛必达需要两次求导，但若用泰勒展开ex ≈ 1 + x + x2/2和cos x ≈ 1 x2/2，则原式≈(x + x2/2) / x2 = 1/x + 1/2，显然更高效。因此，考生不仅要知道“怎么做”，更要懂得“为什么这么做”，才能真正掌握极限计算的精髓。

问题二：《18讲》中多元函数微分学的难点在哪里？

多元函数微分学是考研数学的重点和难点，张宇老师在《18讲》中将其拆解为几个核心模块：偏导数与全微分的计算、方向导数与梯度、以及多元函数的极值与最值。难点主要体现在三个方面。第一是混合偏导数的连续性条件，即?2z/?x?y = ?2z/?y?x需要函数二阶偏导数连续。很多同学会忽略这一点，导致计算错误。张宇老师建议，遇到此类问题先验证条件，不满足时需用定义单独计算。第二是隐函数求导，特别是带参方程组F(x,y,z) = 0求?z/?x，很多同学会混淆全微分与偏导数的区别。正确方法是利用微分形式不变性，对原式两边求全微分，再解出dz的表达式。以x3 + y3 + z3 3xyz = 0为例，d(x3) + d(y3) + d(z3) 3d(xyz) = 0，整理后dz = -(?F/?x + ?F/?y) / ?F/?z。第三是条件极值，拉格朗日乘数法是标准解法，但容易出错的地方在于对λ的约束条件理解不清。张宇老师强调，λ并非函数值，而是辅助变量，最终需代入原函数检验是否为极值点。以z = x2 + y2在xy + 1 = 0下的极值为例，构造L(x,y,λ) = x2 + y2 + λ(xy + 1)，求导后联立方程组解出驻点，再通过二阶导数判别正负定。理解这些核心要点，才能避免在多元微分学问题上“踩坑”。

问题三：如何突破《18讲》中的线性代数矩阵运算难点？

线性代数中的矩阵运算，特别是高阶矩阵求逆和伴随矩阵，是许多同学的薄弱环节。张宇老师在《18讲》中提出了“分块处理”和“公式记忆”两大策略。对于4×4以上矩阵，直接用定义法计算行列式和伴随矩阵会非常耗时，此时应考虑分块矩阵。例如，若A和B均为2×2子块，则det(AB) = det(A)det(B)，这大大简化了计算。伴随矩阵adj(A)的运算需要熟记A·adj(A) = det(A)I，很多同学会忽略这个隐含条件。以A = [[1,2],[3,4]]为例，det(A) = -2，所以A·(1/-2)adj(A) = I，即adj(A) = -1/2A?1。但更简便的方法是直接计算子式代数余子式转置，即adj(A) = [[4,-2],[-3,1]]。矩阵的初等变换也是关键，特别是求逆时，A?1 = (EA)→(IA?1)的操作要熟练。张宇老师还强调，秩的计算要结合行阶梯形，以rank(AB)为例，rank(A) + rank(B) ≤ n，且rank(AB) ≥ max{rank(A), rank(B)