在考研数学的征途上，试题如同磨砺利剑的磨石，以下是一道经典试题，旨在锻炼你的数学思维：
题目：设函数$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，求$f(x)$在$x=0$处的泰勒展开式的前三项。
解答：首先，求$f(x)$的导数：
\[ f'(x) = \left(\frac{1}{1+x^2}\right)' = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \]
\[ f''(x) = \left(-\frac{2x}{(1+x^2)^2}\right)' = \frac{2(1+x^2)^2 - 4x^2(1+x^2)}{(1+x^2)^4} = \frac{2 - 2x^2}{(1+x^2)^3} \]
\[ f'''(x) = \left(\frac{2 - 2x^2}{(1+x^2)^3}\right)' = \frac{-12x(1+x^2)^2 - 4(2-2x^2)(3x^2+1)}{(1+x^2)^6} \]
接下来，计算$x=0$时的各阶导数值：
\[ f(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1 \]
\[ f'(0) = -\frac{2 \cdot 0}{(1+0^2)^2} = 0 \]
\[ f''(0) = \frac{2 - 2 \cdot 0^2}{(1+0^2)^3} = 2 \]
\[ f'''(0) = \frac{-12 \cdot 0(1+0^2)^2 - 4(2-2 \cdot 0^2)(3 \cdot 0^2+1)}{(1+0^2)^6} = 0 \]
因此，$f(x)$在$x=0$处的泰勒展开式的前三项为：
\[ f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 = 1 + 0x + \frac{2}{2}x^2 = 1 + x^2 \]
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