2008年考研数学一答案解析如下：
一、选择题部分
1. 题目：设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f'(1)$。
答案：$f'(1)=2$。
解析：对$f(x)$求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$，代入$x=1$，得$f'(1)=2$。
2. 题目：设$a>0$，$b>0$，求证：$a^3+b^3\geq3ab$。
答案：证明如下。
解析：由均值不等式，得$\frac{a^3+b^3}{2}\geq\sqrt[3]{a^3b^3}$，即$a^3+b^3\geq3ab$。
3. 题目：设$A$，$B$为$3\times3$矩阵，且$A^2+B^2=AB+BA$，证明：$A$可逆。
答案：证明如下。
解析：$A^2+B^2=AB+BA$可变形为$A^2-AB+BA-B^2=0$，即$(A-B)^2=0$，故$A-B=0$，从而$A=B$。又因为$A^2+B^2=AB+BA$，所以$A^2=AB+BA$，即$A(A-B)=0$，故$A=0$或$A-B=0$。若$A=0$，则$A$不可逆；若$A-B=0$，则$A=B$，$A$可逆。
二、填空题部分
1. 题目：设$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$f'(0)=\frac{1}{2}$。
解析：对$f(x)$求导得$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，代入$x=0$，得$f'(0)=\frac{1}{2}$。
2. 题目：设$f(x)=e^x\sin x$，则$f''(0)=1$。
解析：对$f(x)$求导得$f'(x)=e^x\sin x+e^x\cos x$，再对$f'(x)$求导得$f''(x)=e^x\sin x+2e^x\cos x-e^x\sin x$，代入$x=0$，得$f''(0)=1$。
三、解答题部分
1. 题目：求$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x^2}$。
答案：$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x^2}=1$。
解析：由洛必达法则，得$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-\sin x}{2}=-0=1$。
2. 题目：设$A$，$B$为$2\times2$矩阵，且$A^2+B^2=AB+BA$，求$A$的特征值。
答案：$A$的特征值为$1$和$-1$。
解析：由$A^2+B^2=AB+BA$，得$(A-B)^2=0$，故$A-B=0$，即$A=B$。又因为$A^2+B^2=AB+BA$，所以$A^2=AB+BA$，即$A(A-B)=0$，故$A=0$或$A-B=0$。若$A=0$，则$A$的特征值为$0$和$0$；若$A-B=0$，则$A=B$，$A$的特征值为$1$和$-1$。
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