题目：若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$在区间$[1,2]$上连续，且$f'(x)$在区间$[1,2]$上可导，求$f'(x)$在区间$[1,2]$上的最大值。
解题过程：
1. 首先求出$f(x)$的导数$f'(x)$：
$$f'(x)=3x^2-6x+4$$
2. 接着求$f'(x)$的导数$f''(x)$：
$$f''(x)=6x-6$$
3. 令$f''(x)=0$，解得$x=1$。
4. 检查$x=1$是否为$f'(x)$的极值点，由于$f''(x)$在$x=1$两侧异号，故$x=1$为$f'(x)$的极值点。
5. 计算$f'(1)$和$f'(2)$：
$$f'(1)=3-6+4=1$$
$$f'(2)=12-12+4=4$$
6. 比较得出$f'(x)$在区间$[1,2]$上的最大值为4。
答案：$f'(x)$在区间$[1,2]$上的最大值为4。
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