在数学考研的征途上，高等代数是不可或缺的一环。通过精心挑选的习题，考生可以深入理解矩阵、向量空间、线性变换等核心概念。以下是一些典型的高等代数习题，帮助考生巩固知识点：
1. 设矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求矩阵 \(A\) 的特征值和特征向量。
2. 已知向量空间 \(V\) 的基为 \(\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \}\)，其中 \(\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)，\(\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}\)，\(\vec{v}_3 = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{bmatrix}\)，求向量 \(\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) 在基下的坐标。
3. 设 \(T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) 是一个线性变换，其矩阵表示为 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求 \(T\) 的特征值和特征向量。
4. 已知向量空间 \(V\) 的维数为3，基为 \(\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \}\)，其中 \(\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)，\(\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}\)，\(\vec{v}_3 = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{bmatrix}\)，求 \(V\) 的对偶空间 \(V^*\) 的维数。
5. 设 \(A\) 是一个 \(n \times n\) 的实对称矩阵，证明 \(A\) 可对角化。
通过这些习题的练习，考生可以更好地掌握高等代数的核心概念，为考研之路打下坚实的基础。想要更多习题和高效的学习方法，不妨试试微信小程序“考研刷题通”，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你轻松备考！
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