2020考研数学二第12题核心考点解析与易错点分析

2020年考研数学二第12题是一道关于函数零点与微分中值定理的综合题，题目以抽象函数为载体，考查了考生对零点存在性定理、罗尔定理及拉格朗日中值定理的理解和应用能力。不少考生在作答时因对定理条件理解不清或计算过程疏漏而失分，本文将结合题目特点，深入剖析解题思路，并总结常见错误，帮助考生掌握此类问题的答题技巧。

题目原题呈现

设函数f(x)在闭区间[1,2]上连续，在开区间(1,2)内可导，且满足f(1)=f(2)=1。证明：存在唯一的α∈(1,2)，使得f(α)+α=1。

核心考点梳理

1. 零点存在性定理的应用

本题考查零点存在性定理，即若函数在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则存在至少一个零点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。考生需注意定理的适用条件，尤其是函数连续性要求。

2. 构造辅助函数的技巧

解题关键在于构造辅助函数F(x)=f(x)+x-1，通过证明F(x)在(1,2)内存在零点，进而得到原命题的结论。这种构造方法在考研中较为常见，考生应熟练掌握。

3. 罗尔定理与拉格朗日中值定理的联动

部分考生在证明过程中尝试使用罗尔定理，但忽略了F(x)在端点处未必取相同值。正确思路应是通过拉格朗日中值定理证明F(x)在(1,2)内存在极值点，再结合单调性确定唯一性。

解题步骤详解

构造辅助函数F(x)=f(x)+x-1，由题意知F(1)=f(1)+1-1=1，F(2)=f(2)+2-1=2，故F(1)F(2)≠0，无法直接应用零点定理。但由F(1)=1可知F(1)≠0，故需进一步分析。

由于f(x)在[1,2]上连续，根据介值定理，F(x)在[1,2]上连续。接着，在(1,2)内任取一点c，由拉格朗日中值定理可得存在η∈(1,c)，使得f(c)-f(1)=(c-1)f'(η)。同理，存在ζ∈(c,2)，使得f(2)-f(c)=(2-c)f'(ζ)。

两式相加并整理，得到f(c)=f(1)+f(2)-f(1)-f(c)+c-1，即f(c)+c=1。这说明F(x)在(1,2)内至少存在一个零点α，使得F(α)=0。

为证明唯一性，考虑F'(x)=f'(x)+1。由f(x)在(1,2)内可导，可知F'(x)在(1,2)内连续。若F'(x)在(1,2)内恒不为0，则F(x)在(1,2)内严格单调，零点唯一。假设存在x?,x?∈(1,2)，使得F'(x?)=F'(x?)=0，则由罗尔定理可知存在ξ∈(x?,x?)，使得F''(ξ)=0。但F''(x)=f''(x)在(1,2)内恒不为0，矛盾。因此F'(x)在(1,2)内恒不为0，零点唯一。

常见错误警示

部分考生在证明唯一性时，错误地假设F(x)在(1,2)内严格单调，而未考虑导数恒不为0的条件。还有考生尝试直接应用罗尔定理，但忽略了端点值不相等的前提。在构造辅助函数时，容易忽略常数项的选取，导致函数形式错误。

总结与建议

本题综合性较强，考查了考生对多个重要定理的灵活运用能力。在备考过程中，考生应注重理解定理的本质，掌握构造辅助函数的技巧，并培养严谨的证明思维。建议通过大量练习类似题目，提高解题速度和准确率，为考试做好充分准备。