考研数学2016难题深度解析：常见考点难点全突破

2016年的考研数学试卷被考生普遍认为是近年来难度最大的一次，尤其是数三试卷更是让众多考生感到棘手。题目不仅计算量大，而且逻辑性强，很多题目需要考生具备扎实的数学基础和灵活的解题思路。本文将针对数三试卷中的几道典型难题进行深度解析，帮助考生理解难点、掌握解题方法，从而在未来的考试中更加从容应对。

问题一：关于函数零点与导数的关系的证明题

在2016年数三试卷中，有一道关于函数零点与导数关系的证明题让很多考生感到无从下手。题目大致是：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明存在c∈(a,b)，使得f(c)f''(c)+f'(c)2=0。

解答：

这道题考察的是函数零点与导数的关系，需要考生灵活运用中值定理和微分中值定理。我们可以构造一个新的函数g(x)=f(x)f''(x)+f'(x)2，然后证明在(a,b)内存在c使得g(c)=0。由于f(a)=f(b)=0，根据罗尔定理，存在m∈(a,b)使得f'(m)=0。接下来，我们考虑g(x)在[m,b]上的行为。由于f'(m)=0，所以g(m)=f'(m)2=0。再根据罗尔定理，存在c∈(m,b)使得g'(c)=0。而g'(x)=2f'(x)f''(x)+2f(x)f'''(x)，所以g'(c)=0意味着f'(c)f''(c)+f(x)f'''(x)=0。由于f(a)=f(b)=0，根据罗尔定理，存在k∈(a,m)使得f'(k)=0，同理可得f''(k)=0。因此，我们可以得出结论，存在c∈(a,b)使得f(c)f''(c)+f'(c)2=0。

问题二：涉及高阶导数的隐函数求导问题

另一道让考生头疼的题目是关于高阶导数的隐函数求导问题。题目大致是：设方程x3+y3-3axy=0确定y为x的隐函数，求y''(0)的值。

解答：

这道题需要考生熟练掌握隐函数求导的方法。我们对原方程两边同时求导，得到3x2+3y2y'-3ay-3axy'=0。然后，我们令x=0，可以解得y=0。将x=0和y=0代入上式，得到0-0=0，这说明方程在x=0时成立。接下来，我们对上式再次求导，得到6x+6yy''-3a-3y'-3axy''=0。同样地，令x=0和y=0，可以解得y''(0)=a/2。因此，y''(0)的值为a/2。

问题三：关于级数收敛性的判别问题

最后一道难题是关于级数收敛性的判别问题。题目大致是：判别级数∑(n=1 to ∞) (n2+1)/(n3+2n+3)的收敛性。

解答：

这道题需要考生掌握级数收敛性的判别方法。我们可以考虑使用比较判别法。由于(n2+1)/(n3+2n+3)与1/n相似，我们可以将其与p-级数进行比较。由于p-级数在p>1时收敛，在p≤1时发散，我们可以尝试将原级数与1/np进行比较。通过简单的计算，我们可以发现原级数与1/n1.5相似，因此原级数收敛。另一种方法是使用比值判别法，但由于比值判别法在n→∞时可能无法给出明确结论，因此这里不详细展开。