2020考研数学二第5题易错点解析与核心考点总结

2020年考研数学二第5题是一道关于函数零点与微分中值定理的综合题，考察了考生对基础知识的掌握程度和灵活运用能力。不少考生在作答时因对定理条件理解不清或计算疏忽而失分。本文将结合题目特点，深入剖析易错点，并提供详细解题步骤与技巧，帮助考生巩固相关考点，避免类似错误。

常见问题与解答

问题1：如何准确理解题目的条件与结论？

本题给出的条件是函数f(x)在[a,b]上连续且在(a,b)内可导，并且f(a)≠f(b)。结论要求证明存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)等于某个特定值。很多考生容易忽略f(a)≠f(b)这一关键条件，导致无法正确运用罗尔定理或拉格朗日中值定理。正确理解应该是：若f(a)=f(b)，则可直接应用罗尔定理；若f(a)≠f(b)，则需要通过构造辅助函数g(x)=f(x)-kx（k为常数）来转化问题。具体来说，当g(a)=g(b)时，存在ξ使得g'(ξ)=0，即f'(ξ)=k，从而得到所需结论。

问题2：辅助函数g(x)的构造技巧是什么？

辅助函数的构造是本题的难点所在。考生需要根据题目中给出的等式形式，灵活选择合适的构造方式。一般来说，当题目要求证明f'(ξ)=k时，可以尝试构造g(x)=f(x)-kx；若要求证明f'(+∞)=0，则可考虑g(x)=f(x)/x等。本题中，由于需要证明f(ξ)=φ(ξ)，可以构造g(x)=f(x)-φ(x)。通过计算g(a)和g(b)的值，若相等则存在ξ使得g'(ξ)=0，从而得到f'(ξ)=φ'(ξ)。值得注意的是，构造辅助函数时要注意保持函数的连续性和可导性，否则会导致证明过程不成立。

问题3：微分中值定理的选择与运用有哪些注意事项？

本题涉及多个微分中值定理的选择问题，考生需要根据题目条件灵活选用。拉格朗日中值定理适用于证明存在ξ使得f'(ξ)=（f(b)-f(a)）/（b-a），而柯西中值定理则适用于更复杂的等式形式。在使用这些定理时，要注意检查定理的条件是否满足，特别是导数存在性和连续性要求。证明过程中常需要多次运用中值定理，此时要确保每一步推导的逻辑严密。例如，本题中可能需要先通过拉格朗日中值定理找到某个点处的导数值，再结合其他条件找到最终答案。考生在做题时应养成检查条件、分步论证的习惯，避免因忽视细节而失分。