考研线性代数中的核心公式如下：
1. 行列式计算公式：
- 拉普拉斯展开公式：\( \Delta = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} \)
- 行列式按行（列）展开公式：\( \Delta = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} a_{ii} \Delta_i \)
2. 矩阵运算公式：
- 矩阵乘法：\( (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} \)
- 矩阵转置：\( (A^T)_{ij} = a_{ji} \)
- 矩阵求逆：\( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) \)
3. 向量运算公式：
- 向量点乘：\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n \)
- 向量叉乘：\( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \)
4. 特征值和特征向量公式：
- 特征方程：\( \det(A - \lambda I) = 0 \)
- 特征向量：\( (A - \lambda I) \mathbf{v} = \mathbf{0} \)
5. 二次型公式：
- 正定矩阵：\( \Delta > 0 \)
- 负定矩阵：\( \Delta < 0 \)
- 半正定矩阵：\( \Delta \geq 0 \)
- 半负定矩阵：\( \Delta \leq 0 \)
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