2021年考研数学一真题解析如下：
一、选择题
1. 下列选项中，函数y = x^3 - 3x在x = 0处取得极值的是（ ）
A. 极大值 B. 极小值 C. 无极值 D. 不能确定
【解析】求导得y' = 3x^2 - 3，令y' = 0，解得x = ±1。当x < -1时，y' > 0；当-1 < x < 0时，y' < 0；当x > 0时，y' > 0。因此，x = -1处取得极大值，x = 0处取得极小值。故选A。
2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f'(2) =（ ）
A. 0 B. 2 C. -2 D. -4
【解析】f'(x) = 2x - 4，将x = 2代入得f'(2) = 0。故选A。
3. 下列选项中，下列级数收敛的是（ ）
A. ∑(n=1 to ∞) (1/n)^2 B. ∑(n=1 to ∞) (-1)^n/n C. ∑(n=1 to ∞) 1/n D. ∑(n=1 to ∞) n
【解析】选项A为p级数，p > 1时收敛；选项B为交错级数，根据莱布尼茨判别法收敛；选项C为调和级数，发散；选项D为发散级数。故选A。
二、填空题
1. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在x = 1处取得极值，则f(1) = （ ）
【解析】f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，令f'(x) = 0，解得x = 1。f(1) = 1^3 - 3*1^2 + 2*1 = 0。故答案为0。
2. 已知函数f(x) = ln(x^2 - 1)，则f'(1) = （ ）
【解析】f'(x) = (2x)/(x^2 - 1)，将x = 1代入得f'(1) = 0。故答案为0。
3. 下列级数中，收敛的级数是（ ）
A. ∑(n=1 to ∞) (1/n)^2 B. ∑(n=1 to ∞) (-1)^n/n C. ∑(n=1 to ∞) 1/n D. ∑(n=1 to ∞) n
【解析】选项A为p级数，p > 1时收敛；选项B为交错级数，根据莱布尼茨判别法收敛；选项C为调和级数，发散；选项D为发散级数。故选A。
三、解答题
1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的极值。
【解析】f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，令f'(x) = 0，解得x = 1。f(1) = 0，f'(x) > 0时，x > 1或x < 0；f'(x) < 0时，0 < x < 1。因此，x = 1处取得极大值，f(1) = 0。
2. 求函数f(x) = ln(x^2 - 1)的导数。
【解析】f'(x) = (2x)/(x^2 - 1)。
3. 求级数∑(n=1 to ∞) (1/n)^2的收敛半径。
【解析】收敛半径R = 1。
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