考研数学二2005年真题解析如下：
一、选择题解析
1. 题目：设函数$f(x)=x^3-3x+1$，求$f'(x)$。
解析：$f'(x)=3x^2-3$。
2. 题目：设$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A^2$。
解析：$A^2=\begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix}$。
二、填空题解析
1. 题目：设$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求$f'(0)$。
解析：$f'(0)=1$。
2. 题目：设$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
解析：$A^{-1}=\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$。
三、解答题解析
1. 题目：求极限$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$。
解析：利用洛必达法则，$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1$。
2. 题目：求函数$f(x)=x^3-3x+1$的极值。
解析：求导得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$。当$x<1$时，$f'(x)<0$，函数单调递减；当$x>1$时，$f'(x)>0$，函数单调递增。因此，$f(x)$在$x=1$处取得极小值$f(1)=-1$。
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