哈工大数学专业考研试题以严谨著称，题型多样，涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等核心内容。以下是一份模拟试题的解析：
试题一：高等数学
题目：求函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程。
解析：首先求导 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，代入 \( x = 1 \) 得到 \( f'(1) = 0 \)。因此，切线斜率为 0。切点坐标为 \( (1, f(1)) = (1, 0) \)。所以切线方程为 \( y = 0 \)。
试题二：线性代数
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
解析：计算特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda - 7) \)。因此，特征值为 \( \lambda_1 = 1 \)，\( \lambda_2 = 7 \)。对于 \( \lambda_1 = 1 \)，解方程组 \( (A - I)x = 0 \) 得到特征向量 \( \alpha_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \)；对于 \( \lambda_2 = 7 \)，解方程组 \( (A - 7I)x = 0 \) 得到特征向量 \( \alpha_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
试题三：概率论与数理统计
题目：设随机变量 \( X \) 服从参数为 \( \lambda \) 的泊松分布，求 \( P(X \geq 2) \)。
解析：泊松分布的概率质量函数为 \( P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \)。因此，\( P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - e^{-\lambda} - \lambda e^{-\lambda} \)。
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