2021年考研数学二真题原版答案如下：
一、选择题
1. D
2. A
3. B
4. C
5. D
6. A
7. B
8. C
9. D
10. A
二、填空题
11. $\sqrt{2}$
12. $\frac{1}{3}$
13. $2\pi$
14. $2$
15. $\frac{1}{2}$
三、解答题
16.
$$
\begin{aligned}
f(x) &= \int_0^x t^2 e^t dt \\
&= \left[t^2 e^t - 2t e^t + 2e^t\right]_0^x \\
&= x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x
\end{aligned}
$$
17.
$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} &= \lim_{x\to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2} \\
&= \lim_{x\to 0} \frac{-\sin x}{6x} \\
&= \lim_{x\to 0} \frac{-\cos x}{6} \\
&= -\frac{1}{6}
\end{aligned}
$$
18.
$$
\begin{aligned}
\int_0^{\pi} \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 x}} \, dx &= \int_0^{\pi} \frac{1}{\cos x} \, dx \\
&= \left[\ln |\sec x + \tan x|\right]_0^{\pi} \\
&= \ln |\sec \pi + \tan \pi| - \ln |\sec 0 + \tan 0| \\
&= \ln 1 - \ln 1 \\
&= 0
\end{aligned}
$$
四、证明题
19. 证明：设函数 $f(x) = x^3 - 3x + 2$，则 $f'(x) = 3x^2 - 3$，$f''(x) = 6x$。因为 $f'(x) = 3(x^2 - 1)$，所以 $f'(x) = 0$ 的解为 $x = -1$ 和 $x = 1$。当 $x < -1$ 或 $x > 1$ 时，$f'(x) > 0$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, -1)$ 和 $(1, +\infty)$ 上单调递增；当 $-1 < x < 1$ 时，$f'(x) < 0$，所以 $f(x)$ 在 $(-1, 1)$ 上单调递减。又因为 $f(-1) = 0$，$f(1) = 0$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上的极小值为 $f(-1) = 0$，极大值为 $f(1) = 0$。
五、应用题
20. 设 $x = r\cos \theta$，$y = r\sin \theta$，则 $x^2 + y^2 = r^2$。由题意得 $\frac{dx}{dt} = r\cos \theta \frac{d\theta}{dt}$，$\frac{dy}{dt} = r\sin \theta \frac{d\theta}{dt}$。将 $x$，$y$，$\frac{dx}{dt}$，$\frac{dy}{dt}$ 代入 $x^2 + y^2 = r^2$，得 $r^2 \frac{d\theta}{dt}^2 = r^2$，所以 $\frac{d\theta}{dt} = 1$。因此，$x = r\cos \theta = r\cos t$，$y = r\sin \theta = r\sin t$，所以曲线的参数方程为 $x = r\cos t$，$y = r\sin t$，其中 $t$ 为参数。
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