2020年考研数学难度题目解析如下：
1. 解析几何问题：给定椭圆 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，求过椭圆上一点 $(2,0)$ 的直线 $y=kx+b$ 与椭圆的交点构成的弦的中点坐标。
解答：设交点为 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$，根据对称性，中点坐标为 $(x_0,y_0)$。由直线与椭圆的交点方程可得 $x_1 + x_2 = -\frac{8k}{3+4k^2}$，$y_1 + y_2 = k(x_1 + x_2) + 2b = \frac{6b}{3+4k^2}$。因此，中点坐标为 $\left(-\frac{4k}{3+4k^2}, \frac{3b}{3+4k^2}\right)$。
2. 多元函数极值问题：设 $f(x,y) = x^3y - 3xy^2 + 6xy + 1$，求 $f(x,y)$ 在约束条件 $x^2 + y^2 = 1$ 下的极值。
解答：首先求出 $f(x,y)$ 的偏导数 $f_x = 3x^2y - 3y^2 + 6y$ 和 $f_y = x^3 - 6xy + 6x$。令偏导数为0，解得驻点 $(1,1)$ 和 $(-1,-1)$。再求二阶偏导数 $f_{xx} = 6xy$，$f_{xy} = 3x^2 - 6y$，$f_{yy} = -6xy + 6$。在驻点 $(1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 处计算 $AC-B^2$ 的值，发现 $AC-B^2$ 在 $(1,1)$ 处大于0，在 $(-1,-1)$ 处小于0，因此 $(1,1)$ 是极小值点，$(-1,-1)$ 是极大值点。
3. 数列极限问题：已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}$，求 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{a_n^2}$。
解答：首先，由于 $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}$，可知 $a_n > 1$。进一步推导得 $a_{n+1}^2 - a_n^2 = 2 + \frac{1}{a_n^2}$。设 $L = \lim_{n\to\infty} a_n$，则 $L^2 - L = 2 + \frac{1}{L^2}$。解得 $L = 1 + \sqrt{2}$ 或 $L = 1 - \sqrt{2}$。因为 $a_n > 1$，故 $L = 1 + \sqrt{2}$。所以 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{a_n^2} = \frac{1}{2}$。
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