在紧张的研究生备考路上，数学二试卷是每位考生都必须面对的挑战。以下是一份原创的考研数学二试卷及答案，帮助考生检验自己的复习成果。
考研数学二试卷
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(x)$的零点个数为：
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$的值为：
A. 1 B. 2 C. 0 D. 无极限
3. 已知向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (2, 1, -1)$，则$\vec{a} \cdot \vec{b}$的值为：
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4. 设$A$为三阶方阵，且$A^3 = A$，则$A$的秩为：
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
5. 设$f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$，则$f(x)$的奇偶性为：
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 无法确定
二、填空题（每题5分，共20分）
6. $\int_0^1 x^2 e^x \, dx = \frac{1}{2} e - \frac{1}{3}$
7. 线性方程组$\begin{cases}x + 2y + z = 3 \\ 2x + y - z = 1\end{cases}$的解为$x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{3}, z = \frac{1}{3}$
8. $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$的极值点为$x = 0, x = 3$
9. 向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$的模长为$\sqrt{14}$
10. 二次型$Q = x_1^2 - 2x_1x_2 + 3x_2^2$的秩为2
三、解答题（每题20分，共60分）
11. 计算定积分$\int_0^{\pi} \sin^3 x \cos x \, dx$
12. 解线性方程组$\begin{cases}2x + y - z = 1 \\ x - 2y + 3z = 2 \\ 3x + y + 2z = 5\end{cases}$
13. 设$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，求$f'(x)$，并找出$f(x)$的极值点。
14. 求二次型$Q = x_1^2 - 2x_1x_2 + 3x_2^2$的正负惯性指数。
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