在备战考研高数的过程中，以下是一些关键公式总结，助你轻松应对考试：
1. 导数公式：
- 基本导数公式：\( \frac{d}{dx}(c) = 0 \)，\( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
- 常用函数导数：\( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \)，\( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \)，\( \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \)，\( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \)
2. 微分公式：
- 微分法则：\( d(u \pm v) = du \pm dv \)，\( d(uv) = vdu + udv \)，\( d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vdv - udv}{v^2} \)
- 常用函数微分：\( d(\sin x) = \cos x \, dx \)，\( d(\cos x) = -\sin x \, dx \)，\( d(\tan x) = \sec^2 x \, dx \)，\( d(\ln x) = \frac{1}{x} \, dx \)
3. 积分公式：
- 基本积分公式：\( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)，\( \int \sin x \, dx = -\cos x + C \)，\( \int \cos x \, dx = \sin x + C \)
- 常用函数积分：\( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \)，\( \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \)，\( \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C \)
4. 级数展开：
- 泰勒展开：\( f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots \)
- 指数函数展开：\( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \)，\( e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots \)
5. 线性微分方程：
- 一阶线性微分方程：\( y' + p(x)y = q(x) \)，通解为 \( y = e^{-\int p(x) \, dx} \left( \int q(x) e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C \right) \)
- 二阶线性微分方程：\( y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) \)，通解为 \( y = e^{-\int p(x) \, dx} \left( C_1 y_1 + C_2 y_2 \right) \)，其中 \( y_1 \) 和 \( y_2 \) 为方程的两个线性无关的特解。
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