在2020年考研数学一真题中，一道极具挑战性的题目要求考生深入理解高等数学的极限概念。题目如下：
题目：设函数 \( f(x) = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2x}{n}\right)^n \)，证明当 \( x \in \mathbb{R} \) 时，\( f(x) = e^{2x} \)。
解题过程如下：
首先，我们知道 \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \)，这是指数函数的基本极限。现在我们要证明的是 \( f(x) \) 的表达式。
根据指数函数的连续性，我们可以将 \( f(x) \) 的定义写为：
\[ f(x) = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2x}{n}\right)^n \]
为了方便计算，我们可以令 \( t = \frac{n}{2x} \)，则 \( n = \frac{2xt}{1} \)。随着 \( n \) 的增大，\( t \) 也趋近于无穷大。因此，原极限可以转换为：
\[ f(x) = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{2xt} \]
由于 \( \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t \) 趋近于 \( e \)，我们有：
\[ f(x) = \left(\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t\right)^{2x} = e^{2x} \]
因此，我们证明了 \( f(x) = e^{2x} \)。
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