关键词：考研数三、题目解析
在考研数学中，数三以其严谨的逻辑和解题技巧著称。以下是一道数三的题目解析：
题目：已知函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 6x^2 + 9x}{x^2 - 3x + 2} \)，求 \( f(x) \) 的极值。
解析：
1. 首先，求函数 \( f(x) \) 的定义域。由于分母 \( x^2 - 3x + 2 \) 可分解为 \( (x-1)(x-2) \)，因此 \( f(x) \) 的定义域为 \( \mathbb{R} \setminus \{1, 2\} \)。
2. 接着，求 \( f(x) \) 的导数。根据商法则，有：
\[ f'(x) = \frac{(3x^2 - 12x + 9)(x^2 - 3x + 2) - (x^3 - 6x^2 + 9x)(2x - 3)}{(x^2 - 3x + 2)^2} \]
化简得：
\[ f'(x) = \frac{-6x^3 + 15x^2 - 6x}{(x-1)(x-2)^2} \]
3. 令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 0, \frac{5}{2} \)。再结合定义域，得到 \( f(x) \) 在 \( x = 0, \frac{5}{2} \) 处可能有极值。
4. 对 \( x = 0 \) 和 \( x = \frac{5}{2} \) 进行二阶导数检验。求 \( f''(x) \)，然后代入 \( x = 0 \) 和 \( x = \frac{5}{2} \)。
5. 计算得 \( f''(0) < 0 \)，因此 \( x = 0 \) 处为极大值；\( f''(\frac{5}{2}) > 0 \)，因此 \( x = \frac{5}{2} \) 处为极小值。
6. 最后，求出 \( f(0) \) 和 \( f(\frac{5}{2}) \) 的值，得到 \( f(x) \) 的极大值和极小值。
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