在2015年考研数学二中，第十题是一道关于多元函数微分学的难题。题目内容如下：
已知函数 \( f(x, y) = \ln(x^2 + y^2) \)，求证：当 \( (x, y) \) 趋向于原点时，函数 \( f(x, y) \) 的极限为0。
解题步骤如下：
1. 首先，观察函数 \( f(x, y) = \ln(x^2 + y^2) \) 的定义域为 \( \mathbb{R}^2 \)。
2. 根据极限的定义，我们需要证明对于任意给定的正数 \( \varepsilon \)，存在一个正数 \( \delta \)，使得当 \( \sqrt{x^2 + y^2} < \delta \) 时，有 \( |\ln(x^2 + y^2)| < \varepsilon \)。
3. 由于 \( x^2 + y^2 \geq 0 \)，则 \( \ln(x^2 + y^2) \geq 0 \)。因此，原不等式可以转化为 \( \ln(x^2 + y^2) < \varepsilon \)。
4. 由于 \( \ln(1 + t) \leq t \) 对所有 \( t \geq 0 \) 成立，我们可以得到 \( \ln(x^2 + y^2) \leq x^2 + y^2 \)。
5. 由此，我们有 \( \ln(x^2 + y^2) < \varepsilon \) 等价于 \( x^2 + y^2 < \varepsilon \)。
6. 要使 \( x^2 + y^2 < \varepsilon \)，只需 \( \sqrt{x^2 + y^2} < \sqrt{\varepsilon} \)。因此，我们可以取 \( \delta = \sqrt{\varepsilon} \)。
7. 综上所述，对于任意给定的正数 \( \varepsilon \)，存在一个正数 \( \delta = \sqrt{\varepsilon} \)，使得当 \( \sqrt{x^2 + y^2} < \delta \) 时，有 \( |\ln(x^2 + y^2)| < \varepsilon \)。因此，\( \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \ln(x^2 + y^2) = 0 \)。
【考研刷题通】——你的考研刷题小助手！政治、英语、数学等全部考研科目刷题，助你高效备考，轻松应对考试！立即关注，开启你的考研刷题之旅！📚🔥