考研数学二2014年真题第5题是一道关于线性代数的题目，具体内容如下：
设矩阵A为：
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \]
求矩阵A的特征值和特征向量。
解答过程如下：
首先，计算矩阵A的特征多项式：
\[ \det(\lambda I - A) = \det \begin{bmatrix} \lambda - 1 & -2 & -3 \\ -4 & \lambda - 5 & -6 \\ -7 & -8 & \lambda - 9 \end{bmatrix} \]
展开后得到特征多项式：
\[ (\lambda - 1)(\lambda^2 - 14\lambda + 45) = 0 \]
解得特征值：
\[ \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 5, \lambda_3 = 9 \]
接下来，求对应的特征向量。
对于特征值 \(\lambda_1 = 1\)，解方程组：
\[ (A - \lambda_1 I)x = 0 \]
\[ \begin{bmatrix} 0 & -2 & -3 \\ -4 & 4 & -6 \\ -7 & -8 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
解得特征向量 \(x_1 = 1, x_2 = 1, x_3 = 2\)，即 \(v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)。
对于特征值 \(\lambda_2 = 5\)，解方程组：
\[ (A - \lambda_2 I)x = 0 \]
\[ \begin{bmatrix} -4 & -2 & -3 \\ -4 & 0 & -6 \\ -7 & -8 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
解得特征向量 \(x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 1\)，即 \(v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
对于特征值 \(\lambda_3 = 9\)，解方程组：
\[ (A - \lambda_3 I)x = 0 \]
\[ \begin{bmatrix} -8 & -2 & -3 \\ -4 & -4 & -6 \\ -7 & -8 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
解得特征向量 \(x_1 = 1, x_2 = 1, x_3 = 1\)，即 \(v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
综上所述，矩阵A的特征值为1，5，9，对应的特征向量分别为 \(v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)，\(v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\)，\(v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
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