2021年考研数学二试题及答案解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，在x=0处连续的是（ ）
A. f(x) = |x| B. f(x) = x^2 C. f(x) = sin(x) D. f(x) = 1/x
答案：A
解析：函数f(x) = |x|在x=0处连续，因为左极限、右极限和函数值都相等。
2. 设函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4，则f'(x) = （ ）
A. 6x^2 - 6x B. 6x^2 - 6x + 4 C. 6x^2 - 6x - 4 D. 6x^2 - 6x + 6
答案：A
解析：f'(x) = 6x^2 - 6x。
3. 下列数列中，收敛的是（ ）
A. 1, 2, 3, 4, ... B. 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... C. 1, 2, 4, 8, ... D. 1, 3, 9, 27, ...
答案：B
解析：数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ...收敛于0。
4. 设A为3×3矩阵，且|A| = 0，则A的秩r(A)等于（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
答案：A
解析：由于|A| = 0，根据矩阵秩的性质，r(A) ≤ 2，又因为A为3×3矩阵，所以r(A) = 0。
5. 设f(x) = x^2，g(x) = e^x，则f(x)g(x)的导数f'(x)g'(x) + f(x)g''(x)等于（ ）
A. 2x^2e^x B. 2xe^x C. 2xe^x + x^2e^x D. 2xe^x + x^2e^2
答案：C
解析：f'(x) = 2x，g'(x) = e^x，g''(x) = e^x，所以f'(x)g'(x) + f(x)g''(x) = 2xe^x + x^2e^x。
二、填空题
1. 设f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，则f'(1) = （ ）
答案：2
解析：f'(x) = 3x^2 - 6x + 4，f'(1) = 3 - 6 + 4 = 1。
2. 设A为3×3矩阵，且|A| = 2，则|2A|等于（ ）
答案：8
解析：|2A| = 2^3|A| = 8。
3. 设f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则f(x)g(x)的导数f'(x)g'(x) + f(x)g''(x)等于（ ）
答案：e^x/x
解析：f'(x) = e^x，g'(x) = 1/x，g''(x) = -1/x^2，所以f'(x)g'(x) + f(x)g''(x) = e^x/x。
三、解答题
1. 求极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3。
答案：-1/6
解析：根据洛必达法则，lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3 = lim(x→0) (cos(x) - 1) / 3x^2 = lim(x→0) (-sin(x)) / 6x = -1/6。
2. 设A为3×3矩阵，且A的行列式|A| = 2，求矩阵A的逆矩阵A^-1。
答案：A^-1 = 1/2 * (1 0 0; 0 1 0; 0 0 1)
解析：由于|A| = 2，所以A的逆矩阵A^-1 = 1/|A| * adj(A)，其中adj(A)为A的伴随矩阵。由于A为3×3矩阵，所以adj(A) = (1 0 0; 0 1 0; 0 0 1)。
3. 设f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f'(x)和f''(x)。
答案：f'(x) = 3x^2 - 6x + 4，f''(x) = 6x - 6
解析：f'(x) = 3x^2 - 6x + 4，f''(x) = 6x - 6。
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