2015年考研数学二第20题答案如下：
【解答】
本题考查了多元函数微分学的应用。
首先，求出函数$F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$在点$(1,1,1)$处的梯度：
$$\nabla F(x,y,z) = (2x, 2y, 2z)$$
代入$(1,1,1)$得：
$$\nabla F(1,1,1) = (2, 2, 2)$$
接下来，求出函数$F(x,y,z)$在点$(1,1,1)$处的海森矩阵：
$$H(F) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y} & \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial z} \\
\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} & \frac{\partial^2 F}{\partial y\partial z} \\
\frac{\partial^2 F}{\partial z\partial x} & \frac{\partial^2 F}{\partial z\partial y} & \frac{\partial^2 F}{\partial z^2}
\end{bmatrix}$$
代入$(1,1,1)$得：
$$H(F) = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}$$
由于海森矩阵是正定的，故函数$F(x,y,z)$在点$(1,1,1)$处取得极小值。
因此，本题的答案为：极小值。
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