2005年数学一考研真题详解如下：
一、选择题
1. 若函数$f(x)=x^3-3x$，则$f'(x)=\frac{1}{3}x^2-3$。
2. 设向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(4,5,6)$，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=32$。
3. 设$A$为$3\times3$矩阵，$A^2=0$，则$A$不可逆。
4. 若$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}=1$。
5. 若$u=\frac{1}{x^2+y^2}$，则$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-\frac{2}{(x^2+y^2)^2}$。
二、填空题
1. 设$f(x)=e^{2x}$，则$f'(x)=2e^{2x}$。
2. 设$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(4,5,6)$，则$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=(-3,6,-3)$。
3. 设$A$为$3\times3$矩阵，$A^2=0$，则$A$的秩为$0$。
4. 若$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{x}=0$。
5. 设$u=\frac{1}{x^2+y^2}$，则$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}$。
三、解答题
1. 求函数$f(x)=x^3-3x$的极值点。
2. 设$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(4,5,6)$，求$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$。
3. 设$A$为$3\times3$矩阵，$A^2=0$，求$A$的秩。
4. 求极限$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}$。
5. 求偏导数$\frac{\partial u}{\partial x}$和$\frac{\partial u}{\partial y}$，其中$u=\frac{1}{x^2+y^2}$。
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