2015年考研数学二真题第一题是一道关于线性代数的题目，具体内容如下：
已知矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答如下：
首先，计算矩阵 \( A \) 的特征多项式：
\[ \det(\lambda I - A) = \det\begin{bmatrix} \lambda - 1 & -2 & -3 \\ -4 & \lambda - 5 & -6 \\ -7 & -8 & \lambda - 9 \end{bmatrix} \]
通过行变换，我们得到：
\[ \begin{bmatrix} \lambda - 1 & -2 & -3 \\ -4 & \lambda - 5 & -6 \\ -7 & -8 & \lambda - 9 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{bmatrix} \lambda - 1 & -2 & -3 \\ 0 & \lambda - 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda - 1 \end{bmatrix} \]
从而特征多项式为：
\[ (\lambda - 1)^3 = 0 \]
解得特征值 \( \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 1 \)。
接下来，求对应特征向量。当 \( \lambda = 1 \) 时，有：
\[ (I - A)X = 0 \]
\[ \begin{bmatrix} 0 & -2 & -3 \\ -4 & 0 & -6 \\ -7 & -8 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
通过行变换，我们得到：
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
从而得到特征向量 \( k_1(1, -2, 3) \)。
综上，矩阵 \( A \) 的特征值为 \( \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 1 \)，对应特征向量为 \( k_1(1, -2, 3) \)。
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