在19年考研数二的考场上，第15题是一道关于极限与导数的综合应用题。题目如下：
已知函数$f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 4x - 4}{x - 1}$，求$f'(1)$。
解题过程如下：
首先，观察函数$f(x)$，可以发现$x=1$是函数的一个间断点。为了求出$f'(1)$，我们需要先对函数进行化简。
将$f(x)$进行因式分解，得：
$$f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 4x - 4}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x^2 - 2x + 4)}{x - 1}$$
由于$x=1$是间断点，我们可以将分母$x - 1$约去，得到：
$$f(x) = x^2 - 2x + 4$$
接下来，对$f(x)$求导：
$$f'(x) = 2x - 2$$
最后，将$x=1$代入$f'(x)$，得到：
$$f'(1) = 2 \times 1 - 2 = 0$$
所以，$f'(1) = 0$。
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