2016年数学一考研真题解析如下：
一、选择题
1. 真题回顾：已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，求$f'(1)$。
2. 解析：$f'(x) = 3x^2 - 3$，则$f'(1) = 3 - 3 = 0$。
二、填空题
1. 真题回顾：设$A$为单位矩阵，$B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$AB$。
2. 解析：$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$。
三、解答题
1. 真题回顾：设$A$为三阶矩阵，$A^3 - 3A^2 + 2A = 0$，求$A$的特征值和特征向量。
2. 解析：由题意得，$A(A^2 - 3A + 2I) = 0$，即$A(A - 2I)(A - I) = 0$，所以$A$的特征值为$2$，$1$，$0$。对应特征向量分别为$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。
四、证明题
1. 真题回顾：证明：设$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，$f'(x)$在$(a, b)$内存在，且$f'(x) \neq 0$，则存在$\xi \in (a, b)$，使得$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
2. 解析：由拉格朗日中值定理知，存在$\xi \in (a, b)$，使得$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
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