2020年考研数学二真题及解析如下：
一、选择题
1. 设函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则 \( f(x) \) 的零点个数为（ ）。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：函数 \( f(x) \) 在 \( (-\infty, +\infty) \) 上连续，且 \( f(1) = 0 \)，\( f(2) = 0 \)，由罗尔定理可知，存在 \( \xi_1 \in (1, 2) \) 使得 \( f'(\xi_1) = 0 \)。又因为 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，解得 \( x = \pm 1 \)。所以 \( f(x) \) 有两个零点，答案为 B。
2. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶可逆矩阵，则 \( A^{-1} \) 的特征值为（ ）。
A. \( \frac{1}{\lambda} \) B. \( \lambda \) C. \( \lambda^2 \) D. \( \lambda^3 \)
解析：因为 \( A \) 可逆，所以 \( \lambda \neq 0 \)，则 \( A^{-1} \) 的特征值为 \( \frac{1}{\lambda} \)，答案为 A。
3. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - 3x}{x^3} = a \)，则 \( a \) 的值为（ ）。
A. 1 B. 3 C. 9 D. 27
解析：利用洛必达法则，\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - 3x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{3\cos 3x - 3}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-9\sin 3x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{-27\cos 3x}{6} = -9 \)，答案为 D。
二、填空题
4. 设 \( f(x) = e^x + x^2 \)，则 \( f''(x) = \) 。
解析：\( f'(x) = e^x + 2x \)，\( f''(x) = e^x + 2 \)，答案为 \( e^x + 2 \)。
5. 设 \( \vec{a} = (1, 2, 3) \)，\( \vec{b} = (3, 4, 5) \)，则 \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \) 。
解析：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 3 + 2 \times 4 + 3 \times 5 = 3 + 8 + 15 = 26 \)，答案为 26。
三、解答题
6. 求解微分方程 \( y' + y = e^x \) 的通解。
解析：通解为 \( y = e^{-x} \int e^x e^x dx + Ce^{-x} = \frac{1}{2}e^x + Ce^{-x} \)，其中 \( C \) 为任意常数。
7. 求函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) 的极值。
解析：求导得 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)，令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1, 3 \)。计算二阶导数 \( f''(x) = 6x - 12 \)，当 \( x = 1 \) 时，\( f''(1) = -6 < 0 \)，故 \( x = 1 \) 是极大值点；当 \( x = 3 \) 时，\( f''(3) = 6 > 0 \)，故 \( x = 3 \) 是极小值点。计算得极大值为 \( f(1) = 4 \)，极小值为 \( f(3) = 0 \)。
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