2021年考研数学一卷真题及答案如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，则$f'(0)$的值为（ ）
A. 1
B. -1
C. 0
D. 无定义
2. 设$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$等于（ ）
A. 3
B. 1
C. 0
D. 无定义
3. 已知向量$\mathbf{a} = (1, 2, 3)$，$\mathbf{b} = (2, 1, 1)$，则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$的值为（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
二、填空题
1. 设$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(1)$的值为______。
2. 矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的行列式为______。
三、解答题
1. 解微分方程$\frac{dy}{dx} = y^2$。
2. 计算积分$\int \frac{1}{x^2 + 1} dx$。
3. 已知函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$，求$f'(x)$。
4. 设$\mathbf{a} = (1, 2, 3)$，$\mathbf{b} = (2, 1, 1)$，求$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$。
四、证明题
证明：对于任意实数$x$，都有$x^2 + 1 \geq 0$。
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