2021年考研数学二真题解析如下：
一、选择题解析
1. 本题考察了极限的计算，正确答案是B。
解析：利用洛必达法则或泰勒公式，可以快速求出极限值为2。
2. 本题涉及函数的连续性，正确答案是C。
解析：通过判断函数在x=0处是否有间断点，结合函数的性质，得出答案。
3. 本题考查了二阶线性微分方程，正确答案是A。
解析：利用待定系数法或常数变易法，解出微分方程的通解。
二、填空题解析
1. 本题考察了积分计算，正确答案是$$ \frac{1}{2}x^2 + C $$。
解析：通过换元积分法，将积分式转化为基本积分形式，计算得到。
2. 本题涉及矩阵运算，正确答案是$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$。
解析：利用矩阵乘法和逆矩阵的性质，求出结果。
3. 本题考查了数列的收敛性，正确答案是$$ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $$。
解析：通过分析数列的单调性和有界性，得出数列收敛于0。
三、解答题解析
1. 本题考察了多元函数微分学，包括全微分、偏导数和梯度。正确答案是：
- 全微分：$$ \mathrm{d}z = \mathrm{d}x + 2\mathrm{d}y $$
- 偏导数：$$ \frac{\partial z}{\partial x} = 1, \frac{\partial z}{\partial y} = 2 $$
- 梯度：$$ \nabla z = (1, 2) $$
2. 本题涉及二重积分的计算，正确答案是$$ \iint_D 3x^2y \, d\sigma = 2 $$。
解析：通过极坐标变换和积分技巧，计算得到二重积分的值。
3. 本题考察了线性方程组的求解，包括克拉默法则和行列式计算。正确答案是：
- 特解：$$ x = \frac{1}{3}, y = -\frac{2}{3}, z = 1 $$
- 通解：$$ x = \frac{1}{3} + t, y = -\frac{2}{3} - t, z = 1 $$
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