2020年考研数学一第19题是一道关于多元函数微分学的题目。题目要求求出函数 \( f(x, y) = x^2y + 3xy^2 + 2y^3 \) 在点 \( (1, 2) \) 处的全微分 \( df \)。
解题步骤如下：
1. 首先计算函数 \( f(x, y) \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数：
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2
\]
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy + 6y^2
\]
2. 然后将点 \( (1, 2) \) 代入偏导数中，得到：
\[
\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(1, 2)} = 2 \times 1 \times 2 + 3 \times 2^2 = 4 + 12 = 16
\]
\[
\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(1, 2)} = 1^2 + 6 \times 1 \times 2 + 6 \times 2^2 = 1 + 12 + 24 = 37
\]
3. 根据全微分的定义，函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (1, 2) \) 处的全微分 \( df \) 为：
\[
df = \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(1, 2)}dx + \frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(1, 2)}dy = 16dx + 37dy
\]
所以，2020考研数学一第19题的答案是 \( df = 16dx + 37dy \)。
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