北京师范大学考研2025数学真题解析如下：
一、解析题
1. 设函数$f(x)=\int_0^x t^2 e^t dt$，求$f'(x)$。
解答：利用微积分基本定理，得到$f'(x)=x^2 e^x$。
2. 设$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，求$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{a^x+b^x-1}{x}$。
解答：利用泰勒展开，得到$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{a^x+b^x-1}{x}=\ln(a+b)=\ln(1)=0$。
二、选择题
1. 设$f(x)$在$x=0$处可导，且$f(0)=0$，$f'(0)=0$，则$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$的值为（ ）。
A. 0 B. 1 C. 不存在 D. 无穷大
解答：由洛必达法则，得到$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x)}{2x}=0$，选A。
2. 设$f(x)$在$x=1$处可导，且$f'(1)=2$，则$\int_0^1 f(x)dx$的值为（ ）。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解答：利用牛顿-莱布尼茨公式，得到$\int_0^1 f(x)dx=f(1)(1-0)-f(0)(1-0)=2(1-0)=2$，选B。
三、证明题
1. 证明：若$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则存在$\xi \in (a,b)$，使得$\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)$。
解答：由介值定理，存在$\xi \in (a,b)$，使得$f(\xi)=\frac{\int_a^b f(x)dx}{b-a}$，即$\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)$。
四、应用题
1. 设$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，求$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{a^x+b^x}{x^2}$。
解答：利用指数函数的性质，得到$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{a^x+b^x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{e^{x\ln a}+e^{x\ln b}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{a^x+b^x}{x^2}=\ln(a+b)=\ln(1)=0$。
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