2021年考研数二题目如下：
一、选择题（每题4分，共12题，共48分）
1. 设函数 \( f(x) = e^x \sin x \)，则 \( f'(x) \) 的一个零点为：
A. \( x = 0 \)
B. \( x = \frac{\pi}{2} \)
C. \( x = \pi \)
D. \( x = 2\pi \)
2. 设 \( A \) 和 \( B \) 为 \( n \times n \) 的矩阵，若 \( AB = 0 \)，则下列结论正确的是：
A. \( A \) 的零空间与 \( B \) 的零空间相同
B. \( A \) 的零空间与 \( B \) 的零空间互补
C. \( A \) 的零空间包含 \( B \) 的零空间
D. \( A \) 和 \( B \) 的零空间均不可能为空
3. 若 \( \int_0^1 x^2 \sin x \, dx = a \)，则 \( \int_0^1 x^3 \cos x \, dx \) 的值为：
A. \( a \)
B. \( -a \)
C. \( 2a \)
D. \( -2a \)
二、填空题（每题4分，共6题，共24分）
4. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = L \)，则 \( L \) 的值为______。
5. 若 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 是两个非零向量，且 \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)，则 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的夹角为______。
6. 设 \( A \) 为 \( n \times n \) 的实对称矩阵，且 \( A \) 的特征值均为正，则 \( A \) 的行列式 \( \det(A) \) 的值为______。
三、解答题（共4题，共64分）
7. （16分）求微分方程 \( y'' - 2y' + 5y = 2\cos 2x \) 的通解。
8. （16分）已知函数 \( f(x) \) 在区间 \( [0,1] \) 上连续，在 \( (0,1) \) 上可导，且 \( f(0) = 0, f(1) = 1 \)。证明：存在 \( \xi \in (0,1) \)，使得 \( f'(\xi) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} \)。
9. （24分）设 \( A \) 为 \( n \times n \) 的矩阵，且 \( A \) 的特征值为 \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \)，证明：\( \det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \ldots \lambda_n \)。
10. （28分）证明：对于任意实数 \( a, b \)，有 \( (a + b)^3 - a^3 - b^3 \geq 3ab(a + b) \)。
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