考研数学分析难题，往往涉及极限、级数、微分方程等高阶内容。这类题目不仅要求考生有扎实的理论基础，还需具备灵活的解题技巧。以下是一例难题解析：
题目：设函数$f(x)=\frac{1}{x}\int_0^x t^2 e^t dt$，求$f'(0)$。
解题思路：
1. 利用洛必达法则求导。
2. 考虑$f'(0)$的极限形式，转化为$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。
3. 对$f(x)$求导，得到$f'(x)=\frac{x^2 e^x}{x^3}+\frac{1}{x}\int_0^x t^2 e^t dt$。
4. 计算$f'(0)$，即求$\lim_{x\to 0}\frac{\frac{x^2 e^x}{x^3}+\frac{1}{x}\int_0^x t^2 e^t dt}{x}$。
最终答案：$f'(0)=\frac{1}{2}$。
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