2015年考研数学一真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 下列各题中，正确的是（ ）
A. 函数 $f(x)=\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上单调递增
B. 曲线 $y=\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增
C. 曲线 $y=\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 上单调递增
D. 函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减
答案：B
2. 设函数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值，则 $a+b+c$ 等于（ ）
A. $-2$
B. $0$
C. $2$
D. $3$
答案：A
3. 已知函数 $f(x)=x^3-3x+1$，则 $f(x)$ 的极大值点为（ ）
A. $x=-1$
B. $x=0$
C. $x=1$
D. $x=2$
答案：A
二、填空题
1. 设函数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值，则 $a=2$，$b=0$，$c=0$。
2. 曲线 $y=\sin x$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处的切线方程为 $y=x$。
3. 函数 $f(x)=\ln x$ 的反函数为 $y=e^x$。
三、解答题
1. 已知函数 $f(x)=x^3-3x+1$，求 $f(x)$ 的单调区间及极值。
解答：求导得 $f'(x)=3x^2-3$，令 $f'(x)=0$，得 $x=\pm1$。当 $x< -1$ 或 $x>1$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；当 $-1< x<1$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。故 $f(x)$ 的极大值点为 $x=-1$，极小值点为 $x=1$。
2. 求函数 $f(x)=x^3+3x^2-3x+1$ 的图像与 $x$ 轴的交点。
解答：令 $f(x)=0$，得 $x^3+3x^2-3x+1=0$。因式分解得 $(x-1)(x^2+4x-1)=0$，解得 $x=1$，$x=\frac{-4\pm\sqrt{16+4}}{2}=-2\pm\sqrt{5}$。故函数 $f(x)$ 的图像与 $x$ 轴的交点为 $x=1$，$x=-2+\sqrt{5}$，$x=-2-\sqrt{5}$。
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