25年考研数学一试卷解析如下：
一、选择题
1. 题目：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，则$f(x)$的极值点为（ ）
A. $x=0$，$x=1$，$x=2$
B. $x=-1$，$x=1$，$x=2$
C. $x=-1$，$x=0$，$x=2$
D. $x=-1$，$x=1$，$x=0$
答案：C
2. 题目：设$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}$的值为（ ）
A. 1
B. 0
C. $\infty$
D. 不存在
答案：A
二、填空题
3. 题目：若$\int_0^1 x^2e^x dx=\frac{1}{3}e^x(x^3-3x^2+6x-6)|_0^1$，则$\int_0^1 e^x(x^3-3x^2+6x-6)dx$的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C
三、解答题
4. 题目：设$a>0$，$b>0$，证明：$\sqrt{a^2+b^2}\geq \frac{a+b}{2}$。
证明：令$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，则$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$。
当$x\geq 0$时，$f'(x)\geq 0$，$f(x)$单调递增；当$x<0$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。
因此，$f(x)$在$x=0$处取得最小值，即$f(0)=1$。
又因为$a>0$，$b>0$，所以$a^2+b^2\geq 2ab$，即$\sqrt{a^2+b^2}\geq \sqrt{2ab}$。
又因为$\sqrt{2ab}\geq \frac{a+b}{2}$，所以$\sqrt{a^2+b^2}\geq \frac{a+b}{2}$。
5. 题目：求$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sqrt{1+\tan^2x}} dx$的值。
解：令$t=\tan x$，则$dt=\sec^2x dx$。
当$x=0$时，$t=0$；当$x=\frac{\pi}{2}$时，$t=\infty$。
所以，$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sqrt{1+\tan^2x}} dx=\int_0^{\infty} \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} dt=\left[\ln (t+\sqrt{1+t^2})\right]_0^{\infty}=\ln(\infty+\sqrt{\infty})-\ln(0+\sqrt{0})=\infty-\infty$。
由于$\ln(\infty+\sqrt{\infty})$和$\ln(0+\sqrt{0})$都趋向于$\infty$，所以$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sqrt{1+\tan^2x}} dx$的值为$\infty$。
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