2020年考研数学真题解析如下：
一、选择题
1. 若函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$在$x=1$处取得极值，则该极值为（ ）
A. $-1$ B. $0$ C. $1$ D. $2$
答案：C
解析：$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$f''(x)=6x-6$，$f''(1)=0$，故在$x=1$处取得极值，且$f(1)=1^3-3\times1^2+2\times1=0$。
2. 已知$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{x^2}$等于（ ）
A. $2$ B. $4$ C. $8$ D. $16$
答案：A
解析：$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\sin x\cos x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\sin x}{x}\cdot\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{x}=2\times1\times1=2$。
3. 设$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}$，则$A+B$的行列式等于（ ）
A. $-2$ B. $-4$ C. $2$ D. $4$
答案：A
解析：$A+B=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 & 8 \\ 10 & 12\end{bmatrix}$，$\det(A+B)=\det\begin{bmatrix}6 & 8 \\ 10 & 12\end{bmatrix}=6\times12-8\times10=-32$。
二、填空题
1. 若$f(x)=\sin x+\cos x$，则$f'(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$。
2. 设$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，则$A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{4}{7} & -\frac{2}{7} \\ -\frac{3}{7} & \frac{1}{7}\end{bmatrix}$。
三、解答题
1. 求极限$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}$。
答案：$-\frac{1}{3}$
解析：$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-\frac{\sin x}{\cos x}}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x\cos x-\sin x}{x^3\cos x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x(\cos x-1)}{x^3\cos x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x\cdot\frac{1}{2}x^2}{x^3\cos x}=-\frac{1}{3}$。
2. 求函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$在区间$[0,2]$上的最大值和最小值。
答案：最大值为$f(1)=0$，最小值为$f(2)=-2$。
解析：$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$f''(x)=6x-6$，$f''(1)=0$，故在$x=1$处取得极值，且$f(1)=0$，$f(0)=0$，$f(2)=-2$，故最大值为$f(1)=0$，最小值为$f(2)=-2$。
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