2019年数学三考研真题解析如下：
一、选择题解析
1. 解析：本题考查函数极限的存在性。通过洛必达法则或夹逼定理可求极限存在，选D。
2. 解析：本题考查函数的导数。利用导数的定义和求导法则，可得导数为1，选A。
3. 解析：本题考查多元函数的极值。根据极值的充分条件，可求出极小值点，选B。
4. 解析：本题考查线性方程组的解法。通过增广矩阵和行简化，可得方程组的解，选D。
5. 解析：本题考查定积分的计算。利用定积分的性质和换元法，可得结果，选C。
二、填空题解析
1. 解析：本题考查级数的收敛性。通过比值审敛法，可得级数收敛，填$\frac{1}{2}$。
2. 解析：本题考查线性方程组的解。通过克莱姆法则，可得解为$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。
3. 解析：本题考查矩阵的秩。通过初等行变换，可得矩阵的秩为2。
4. 解析：本题考查概率的计算。根据全概率公式和贝叶斯公式，可得概率，填$\frac{1}{3}$。
三、解答题解析
1. 解析：本题考查一元函数的微分学。首先求导数，然后根据导数的定义和求极限的方法，可得导数和极限。
2. 解析：本题考查二重积分的计算。通过极坐标变换，可得二重积分的计算公式和结果。
3. 解析：本题考查线性方程组的求解。通过初等行变换和克莱姆法则，可得方程组的解。
4. 解析：本题考查多元函数的微分学。首先求偏导数，然后根据多元函数微分学的公式，可得结果。
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