在2020年的考研数学二中，考生们遇到了一系列颇具挑战性的题目。以下是对其中一些典型题目的详细解析及答案：
1. 选择题：求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$ 的极值点。
- 解析：通过求导数 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令其等于零，解得 $x = 1$ 或 $x = \frac{2}{3}$。计算二阶导数 $f''(x) = 6x - 6$，在 $x = 1$ 时为负，故为极大值点；在 $x = \frac{2}{3}$ 时为正，故为极小值点。
- 答案：极大值点为 $x = 1$，极小值点为 $x = \frac{2}{3}$。
2. 填空题：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$。
- 解析：根据洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3\cos 3x}{1} = 3$。
- 答案：3。
3. 解答题：计算二重积分 $\iint_D (x^2 + y^2) \, dA$，其中 $D$ 为单位圆盘 $x^2 + y^2 \leq 1$。
- 解析：利用极坐标变换，$x = r\cos \theta$，$y = r\sin \theta$，则 $dA = r \, dr \, d\theta$。积分区域为 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。计算得到 $\iint_D (x^2 + y^2) \, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \, dr \, d\theta = \frac{\pi}{2}$。
- 答案：$\frac{\pi}{2}$。
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