在2021年的考研数学二中，考生们面临着一场既考验基础又考察能力的挑战。以下是部分真题及答案解析：
1. 真题：求函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$在区间$[1,2]$上的最大值和最小值。
答案解析：首先求出函数的导数$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。再求出$f(1)=2$，$f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{58}{27}$，$f(2)=6$。因此，函数在区间$[1,2]$上的最大值为$6$，最小值为$\frac{58}{27}$。
2. 真题：设$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，求$A^3$。
答案解析：根据矩阵乘法，$A^3=A^2 \cdot A=\begin{bmatrix}7 & 10 \\ 15 & 20\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}31 & 46 \\ 69 & 100\end{bmatrix}$。
3. 真题：求微分方程$y'+y=\sin x$的通解。
答案解析：这是一个一阶线性微分方程，先求出其通解$y=\mathrm{e}^{-\int 1 \mathrm{d} x}\left(\int \sin x \mathrm{e}^{\int 1 \mathrm{d} x} \mathrm{d} x+C\right)=\mathrm{e}^{-x}\left(-\cos x+C\right)$。
4. 真题：已知$y=x^2$，求$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$。
答案解析：根据导数的定义，$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2x$。
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