2020年考研数学三真题解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，则$f'(0)$的值为（ ）
A. 0
B. $\frac{1}{2}$
C. $-\frac{1}{2}$
D. 1
【答案】C
【解析】$f'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}$，代入$x=0$得$f'(0)=-\frac{1}{2}$。
2. 设$a>0$，$b>0$，则下列不等式中成立的是（ ）
A. $a^2+b^2\geq 2ab$
B. $a^3+b^3\geq 2ab(a+b)$
C. $a^4+b^4\geq 2a^2b^2$
D. $a^5+b^5\geq 2a^3b^2$
【答案】B
【解析】由均值不等式可得$a^3+b^3\geq 3\sqrt[3]{a^3b^3}=3ab$，当且仅当$a=b$时取等号，故B项正确。
二、填空题
3. 设$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x^2}$的值为（ ）
A. 0
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. $\frac{1}{2}$
【答案】B
【解析】$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\sin x}{2x}=-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=-\frac{1}{2}$。
三、解答题
4. 设函数$f(x)=x^3-3x+1$，求$f'(x)$。
【答案】$f'(x)=3x^2-3$。
【解析】由导数的定义可得$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)^3-3(x+\Delta x)+1-(x^3-3x+1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3-3\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(3x^2+3x\Delta x+\Delta x^2-3)=3x^2-3$。
5. 设$a>0$，$b>0$，证明：$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$。
【答案】证明：由均值不等式可得$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2$，当且仅当$a=b$时取等号。
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