题目：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求函数$f(x)$的极值点。
答案：首先，对函数$f(x)$求导，得到$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
接着，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。
然后，求$f''(x)$，得$f''(x) = 6x - 6$。
在$x = 1$处，$f''(1) = 0$，无法判断极值类型。
在$x = \frac{2}{3}$处，$f''(\frac{2}{3}) = 0$，无法判断极值类型。
因此，需要通过$f'(x)$的正负变化来判断极值类型。
当$x < \frac{2}{3}$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增；
当$\frac{2}{3} < x < 1$时，$f'(x) < 0$，函数$f(x)$单调递减；
当$x > 1$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增。
因此，$x = \frac{2}{3}$是$f(x)$的极大值点，$x = 1$是$f(x)$的极小值点。
最后，代入原函数，得到极大值$f(\frac{2}{3}) = \frac{25}{27}$，极小值$f(1) = 3$。
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