考研基本不等式主要包括以下几种：
1. 算术平均数-几何平均数不等式：对于任意的非负实数\(a_1, a_2, ..., a_n\)，有：
\[
\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}
\]
当且仅当\(a_1 = a_2 = ... = a_n\)时，等号成立。
2. 算术平均数-调和平均数不等式：对于任意的正实数\(a_1, a_2, ..., a_n\)，有：
\[
\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n}}
\]
当且仅当\(a_1 = a_2 = ... = a_n\)时，等号成立。
3. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意的实数序列\(x_1, x_2, ..., x_n\)和\(y_1, y_2, ..., y_n\)，有：
\[
(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n)^2
\]
当且仅当\(\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = ... = \frac{x_n}{y_n}\)时，等号成立。
4. 柯西-施瓦茨不等式（向量形式）：对于任意两个向量\(a\)和\(b\)，有：
\[
|a \cdot b| \leq ||a|| \cdot ||b||
\]
当且仅当\(a\)和\(b\)同向或反向时，等号成立。
5. Jensen不等式：对于凸函数\(f\)和任意实数序列\(x_1, x_2, ..., x_n\)，有：
\[
f\left(\frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}\right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_n)}{n}
\]
当且仅当\(f\)是常数函数时，等号成立。
掌握这些基本不等式对于解决考研数学中的问题非常有帮助。如果您想要进一步提升解题能力，不妨试试我们的微信考研刷题小程序：【考研刷题通】，涵盖了政治、英语、数学等全部考研科目，助您轻松备考，顺利通过考研！
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