2020年考研数学二答案如下：
一、选择题
1. B
2. A
3. D
4. C
5. A
6. B
7. C
8. D
9. B
10. A
二、填空题
11. $\frac{1}{2}$
12. $\frac{1}{3}$
13. $e$
14. $\sqrt{2}$
15. $\frac{\pi}{2}$
三、解答题
16. 解：设$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，则$f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$，$f''(x) = \frac{2(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^3}$。
当$x > 0$时，$f''(x) > 0$，$f'(x)$单调递增，$f(x)$单调递增；
当$x < 0$时，$f''(x) < 0$，$f'(x)$单调递减，$f(x)$单调递减。
所以$f(x)$在$x = 0$处取得极小值，且为最小值，即$f(0) = 1$。
17. 解：设$f(x) = \ln x + \frac{1}{x}$，则$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} = \frac{x - 1}{x^2}$。
当$x > 1$时，$f'(x) > 0$，$f(x)$单调递增；
当$0 < x < 1$时，$f'(x) < 0$，$f(x)$单调递减。
所以$f(x)$在$x = 1$处取得极小值，且为最小值，即$f(1) = 1$。
18. 解：设$f(x) = \int_0^x e^t dt$，则$f'(x) = e^x$。
由拉格朗日中值定理，存在$\xi \in (0, x)$，使得$f(x) - f(0) = f'(\xi)(x - 0)$，即$e^x = e^\xi x$。
所以$\xi = \frac{x}{e^x}$。
19. 解：设$f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$，则$f'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) - 2x^3}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$。
当$x > 0$时，$f'(x) > 0$，$f(x)$单调递增；
当$x < 0$时，$f'(x) < 0$，$f(x)$单调递减。
所以$f(x)$在$x = 0$处取得极小值，且为最小值，即$f(0) = 0$。
20. 解：设$f(x) = \int_0^x t^2 e^t dt$，则$f'(x) = x^2 e^x$。
由洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 e^x}{x^2} = \lim_{x \to 0} e^x = 1$。
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